23 Геометрическое распределение

Геометрическая функция плотности вероятности основана на том, что мы узнали из биномиального распределения. В этом случае эксперимент продолжается до тех пор, пока не произойдет успех или неудача, а не определенное количество попыток. Есть три основных характеристики геометрического эксперимента.

1. Есть одно или несколько испытаний Бернулли со всеми неудачами, кроме последнего, которое является успешным. Другими словами, вы продолжаете повторять то, что делаете, до первого успеха. Тогда ты остановишься. Например, вы бросаете дротик в яблочко, пока не попадаете в яблочко. Первый раз, когда вы попадаете в яблочко, это «успех», поэтому вы перестанете бросать дротик. Может потребоваться шесть попыток, пока вы не попадете в яблочко. Вы можете думать об испытаниях как о неудачах, неудачах, неудачах, неудачах, неудачах, успехах, СТОП.
2. Теоретически количество испытаний могло продолжаться бесконечно.
3. Вероятность успеха p и вероятность неудачи q одинаковы для каждого испытания. p + q = 1 и q = 1 - p . Например, вероятность выпадения тройки при бросании одного честного кубика равна. Это верно независимо от того, сколько раз вы бросаете кубик. Предположим, вы хотите узнать вероятность выпадения первых трех при пятом броске. При бросках с первого по четвертый вы не получите лицо с тройкой. Вероятность для каждого из валков q = вероятность отказа. Вероятность выпадения тройки на пятом броске = 0,0804.
4. X = количество независимых испытаний до первого успеха.

Вы играете в азартную игру, в которой можете либо выиграть, либо проиграть (других возможностей нет), покане проиграете. Ваша вероятность проигрыша p = 0,57. Какова вероятность того, что вы проиграете через пять игр? Пусть X = количество игр, в которые вы играете, пока не проиграете (включая проигрышную игру). Затем X принимает значения 1, 2, 3,… (может продолжаться бесконечно). Вопрос вероятности - P ( x = 5).

Вы бросаете дротики в доску, пока не попадете в центр. Ваша вероятность попадания в центральную зону p = 0,17. Вы хотите найти вероятность того, что потребуется восемь бросков, пока вы не попадете в центр. Какие значения принимает X ?

1, 2, 3, 4,… п . Это может продолжаться бесконечно.

Инженер по безопасности считает, что 35% всех несчастных случаев на производстве на ее предприятии вызваны несоблюдением сотрудниками инструкций. Она решает просмотреть отчеты о несчастных случаях (выбранных случайным образом и замененных в стопке после прочтения), покане найдет тот, в котором показан несчастный случай, вызванный несоблюдением сотрудниками инструкций. Сколько в среднем отчетов ожидаетпросмотреть инженер по технике безопасности, пока не найдет отчет, показывающий несчастный случай, вызванный невыполнением сотрудником инструкций? Какова вероятность того, что инженер по технике безопасности должен будет изучить как минимум три отчета, пока не найдет отчет, показывающий несчастный случай, вызванный невыполнением сотрудником инструкций?

Пусть X = количество несчастных случаев, которые инженер по технике безопасности должен изучить, покане найдет отчет, показывающий несчастный случай, вызванный несоблюдением сотрудником инструкций. X принимает значения 1, 2, 3,…. Первый вопрос просит вас найти ожидаемое значениеили среднее значение. Второй вопрос просит вас найти P ( x ≥ 3). («По крайней мере» переводится как «больше или равно»).

Инструктор считает, что 15% студентов на выпускном экзамене получают оценку ниже трех. Она решает просмотреть выпускные экзамены (выбранные случайным образом и замененные в стопке после прочтения) до тех пор, пока не найдет тот, который показывает оценку ниже C. Мы хотим знать вероятность того, что инструктору придется сдать не менее десяти экзаменов, пока он не найдет один с оценкой ниже C. Какой вопрос о вероятности сформулирован математически?

Предположим, вы ищете студента вашего колледжа, который живет в пределах пяти миль от вас. Вы знаете, что 55% из 25 000 студентов живут в пределах пяти миль от вас. Вы случайным образом связываетесь со студентами колледжа, покаодин из них не скажет, что он или она живет в пределах пяти миль от вас. Какова вероятность того, что вам нужно связаться с четырьмя людьми?

Это геометрическая проблема, потому что у вас может быть несколько неудач, прежде чем вы добьетесь желаемого успеха. Кроме того, вероятность успеха остается примерно одинаковой каждый раз, когда вы спрашиваете ученика, живет ли он в пределах пяти миль от вас. Нет определенного количества испытаний (сколько раз вы спрашиваете студента).

а. Пусть X = количество ____________, вы должны спросить ____________ один говорит «да».

а. Пусть X = количество студентов, которыхвы должны спросить, покаодин из них не скажет «да».

б. Какие значения принимает X ?

б. 1, 2, 3,…, (общее количество студентов)

d. Вопрос о вероятности - P (_______).

Обозначения для геометрического: G = геометрическая функция распределения вероятностей.

Прочтите это как « X - случайная величина с геометрическим распределением». Параметр p ; p = вероятность успеха для каждого испытания.

Geometric Pdf сообщает нам вероятность того, что для первого успеха потребуется x независимых испытаний, каждое с вероятностью успеха p. Если вероятность успеха в каждом испытании равна p , то вероятность того, что x- е испытание (из x испытаний) является первым успешным, равна:

для x = 1, 2, 3,….

Ожидаемое значение X, среднее значение этого распределения, равно 1 / p. Это говорит нам, сколько испытаний нам нужно ожидать, прежде чем мы добьемся первого успеха, включая в подсчет те испытания, которые завершились успехом. Приведенная выше форма геометрического распределения используется для моделирования количества попыток до первого успеха. В число испытаний входит и то, что было успешным: x = все испытания, включая успешное. Это можно увидеть в виде формулы. Если X = количество испытаний, включая успех, тогда мы должны умножить вероятность неудачи (1-p) на количество неудач, то есть X-1.

Напротив, следующая форма геометрического распределения используется для моделирования количества отказов до первого успеха:

для x = 0, 1, 2, 3,….

В этом случае успешное испытание не считается испытанием в формуле: x = количество неудач. Среднее ожидаемое значение этого распределения составляет. Это говорит нам, сколько неудач следует ожидать, прежде чем мы добьемся успеха. В любом случае последовательность вероятностей представляет собой геометрическую последовательность.

Предположим, что вероятность неисправности компонента компьютера составляет 0,02. Компоненты выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что первый дефект вызван седьмым протестированным компонентом. Сколько компонентов вы планируете протестировать, пока не будет обнаружен дефект одного из них?

Пусть X = количество компонентов компьютера, проверенных до обнаружения первого дефекта.

X принимает значения 1, 2, 3,… где p = 0,02. Икс

Вероятность того, что седьмой компонент является первым дефектом, составляет 0,0177.

У оси х содержит вероятность х , где Х тестируемого = количество компьютерных компонентов. Обратите внимание, что вероятности уменьшаются на обычное приращение. Это приращение представляет собой такое же соотношение между каждым числом и называется геометрической прогрессией и, следовательно, именем этой функции плотности вероятности.

Среднее количество компонентов, которые вы ожидаете тестировать, пока не обнаружите первый дефектный компонент.

Формула для среднего значения случайной величины, определяемой как количество отказов до первого успеха, равна μ = = = 50.

См. (Рисунок) пример, где геометрическая случайная величина определяется как количество попыток до первого успеха. Ожидаемое значение этой формулы для геометрического будет отличаться от этой версии распределения.

Формула дисперсии: σ 2 = = = 2,450.

Стандартное отклонение σ = = = 49,5

Риск развития рака поджелудочной железы в течение жизни составляет примерно один из 78 (1,28%). Пусть X = количество людей, которых вы спросите, прежде чем кто-то скажет, что у него рак поджелудочной железы. Случайная величина X в этом случае включает только количество неудачных испытаний и не учитывает испытание, в котором удалось найти человека, у которого было заболевание. Подходящей формулой для этой случайной величины является вторая, представленная выше. Тогда X - дискретная случайная величина с геометрическим распределением: X

1. Какова вероятность того, что вы спросите 9 человек, прежде чем один скажет, что у него рак поджелудочной железы? Это вопрос, какова вероятность того, что вы спросите 9 человек безуспешно, а десятый человек будет успешным?
2. Какова вероятность, что вы должны спросить 20 человек?
3. Найти (I) , средний и (II) , стандартное отклонение X .

1. P ( x = 9) = (1 - 0,0128) 9 · 0,0128 = 0,0114
2. P ( x = 20) = (1 - 0,0128) 19 · 0,0128 = 0,01
3. 1. Среднее = μ =
   2. Стандартное отклонение = σ = = ≈ 77,62

   Уровень грамотности в стране измеряет долю людей в возрасте 15 лет и старше, которые умеют читать и писать. Уровень грамотности женщин в Соединенных Колониях Независимости составляет 12%. Пусть X = количество женщин, которых вы спрашиваете, пока одна из них не скажет, что она грамотна.

   1. Каково распределение вероятностей X ?
   2. Какова вероятность того, что вы спросите пять женщин, прежде чем одна скажет, что она грамотна?
   3. Какова вероятность того, что вы должны спросить десять женщин?
   1. Икс

   У бейсболиста средний показатель 0,320. Это общая вероятность того, что он получает удар каждый раз, когда бьет битой.

   Какова вероятность того, что он получит свой первый удар в третьем походе на биту?

   В этом случае последовательность - неудача, неудача - успех.

   Сколько трипов к биту, по вашему мнению, потребуется нападающему, прежде чем он получит удар?

   Это просто ожидаемое значение успехов и, следовательно, среднее значение распределения.

   Вероятность того, что у далматинской собаки 13 черных пятен, составляет 80%. Вы идете на выставку собак и считаете пятна на далматинах. Какова вероятность того, что вы просмотрите пятна на трех собаках, прежде чем найдете одну с 13 черными пятнами?

   использованная литература

   «Миллениалы: портрет следующего поколения», PewResearchCenter. Доступно в Интернете по адресу http://www.pewsocialtrends.org/files/2010/10/millennials-confident-connected-open-to-change.pdf (по состоянию на 15 мая 2013 г.).

   «Миллениалы: Уверенно. Связаны. Открыт для перемен ». Краткое изложение PewResearch Social & Demographic Trends, 2013. Доступно на сайте http://www.pewsocialtrends.org/2010/02/24/millennials-confident-connected-open-to-change/ (по состоянию на 15 мая 2013 г.).

   «Распространенность ВИЧ, всего (% населения в возрасте 15–49 лет)», Всемирный банк, 2013 г. Доступно в Интернете по адресу http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+ wbapi_data_value + wbapi_data_value-last & sort = desc (по состоянию на 15 мая 2013 г.).

   Прайор, Джон Х., Линда ДеАнджело, Лаура Палаки Блейк, Сильвия Уртадо, Серж Тран. Американский первокурсник: Национальные нормы, осень 2011 г. Лос-Анджелес: Программа совместных институциональных исследований в Исследовательском институте высшего образования Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, 2011 г. Также доступно в Интернете по адресу http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs /TheAmericanFreshman2011.pdf (по состоянию на 15 мая 2013 г.).

   «Краткое изложение Национальной оценки рисков и уязвимости 2007/8: Профиль Афганистана», Европейский Союз и ICON-Institute. Доступно на сайте http://ec.europa.eu/europeaid/where/asia/documents/afgh_brochure_summary_en.pdf (по состоянию на 15 мая 2013 г.).

   «The World FactBook», Центральное разведывательное управление. Доступно в Интернете по адресу https://www.cia.gov/libraryations/the-world-factbook/geos/af.html (по состоянию на 15 мая 2013 г.).

   «ЮНИСЕФ сообщает о центрах грамотности женщин в Афганистане, созданных для обучения женщин и девочек базовым навыкам проживания [sic] и письма», - телевидение ЮНИСЕФ. Видео доступно на сайте http://www.unicefusa.org/assets/video/afghan-female-literacy-centers.html (по состоянию на 15 мая 2013 г.).

   Обзор главы

   Есть три характеристики геометрического эксперимента:

   1. Есть одно или несколько испытаний Бернулли со всеми неудачами, кроме последнего, которое является успешным.
   2. Теоретически количество испытаний могло продолжаться бесконечно. Должно быть хотя бы одно испытание.
   3. Вероятность успеха p и вероятность неудачи q одинаковы для каждого испытания.

   В геометрическом эксперименте определите дискретную случайную величину X как количество независимых испытаний до первого успеха. Мы говорим, что X имеет геометрическое распределение, и пишем X

   G ( p ), где p - вероятность успеха в одном испытании.

   Среднее геометрическое распределение X

   G ( p ) - это μ = где x = количество попыток до первого успеха для формулы, где количество попыток увеличивается, включая первый успех.

   Альтернативная формулировка геометрического распределения задает вопрос: какова вероятность x отказов до первого успеха? В этой формулировке не засчитывается испытание, которое привело к первому успеху. Формула этого представления геометрического такова:

   
   
   Ожидаемое значение в этой форме геометрического распределения равно

   
   
   Самый простой способ сохранить прямые эти две формы геометрического распределения - это помнить, что p - это вероятность успеха, а (1 − p) - вероятность неудачи. В формуле экспоненты просто подсчитывают количество успехов и количество неудач желаемого результата эксперимента. Конечно, сумма этих двух чисел должна добавить к количеству испытаний в эксперименте.

   Формула Обзор

   G ( p ) означает, что дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение вероятностей с вероятностью успеха в одном испытании p .

   X = количество независимых испытаний до первого успеха

   X принимает значения x = 1, 2, 3,…

   p = вероятность успеха любого испытания

   q = вероятность неудачи для любого испытания p + q = 1
   
   q = 1 - p

   Стандартное отклонение σ = =.

   Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие шесть упражнений: Исследовательский институт высшего образования при Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе собрал данные от 203 967 поступающих впервые на полный рабочий день первокурсников из 270 четырехгодичных колледжей и университетов США. 71,3% этих студентов ответили, что: да, они считают, что однополые пары должны иметь право на законное семейное положение. Предположим, вы случайным образом выбираете первокурсника из исследования, пока не найдете того, кто отвечает «да». Вас интересует, сколько первокурсников вы должны спросить.

   В словах, определим случайную величину X .

   X = количество первокурсников, выбранных из исследования до тех пор, пока один из них не ответит «да», что однополые пары должны иметь право на законное семейное положение.