Считаем пятницу 13
После обсуждения с некоторыми коллегами в пятницу, 13 декабря 2002 г., я произвел расчеты, представленные здесь. Конечно, в пятнице 13-е нет ничего особенного, но просто эта дата представляет для некоторых больше интереса, чем любая другая комбинация; очевидно, что результаты применимы (с небольшими изменениями) к любой другой комбинации дня и даты.
Проблема
Интуитивно можно было ожидать, что пятница 13-е равномерно распределена по всем месяцам, и что в среднем за год 12/7 = 1,71428. такие дни (в году 12 месяцев, и каждый месяц имеет один из семи шансов, что его 13-й день - пятница).
Однако это оказалось неправдой. Пятница 13 реже всего встречается в августе и октябре, а в среднем за год выпадает 1,72 пятницы 13, что немного больше, чем ожидалось. Если вы хотите знать почему, читайте дальше.
(Распространенное заблуждение состоит в том, что пятница 13-го числа должна быть более вероятной в месяцах с большим количеством дней (например, в январе с 31 днем), чем в более коротких месяцах. Однако это неверно, поскольку в каждом месяце ровно один 13-й день.)
Расчет
Структура календаря
Во-первых, стандартный календарь неудобен с математической точки зрения из-за возможного високосного дня 29 февраля. Поэтому мы переопределяем январь и февраль как месяцы ундекабрь и декабрь предыдущего года, поэтому год проходит с марта по додекабрь, а високосный день - между годами.
Поскольку в переопределенном году больше нет високосных дней, нам нужно только определить, какой день недели является первым днем года (1 марта); если мы это знаем, то все остальные дни недели в году будут фиксированными. Мы обозначим этот первый день недели года числом X, где X будет от 0 до 6; 0 - среда, 1 - четверг, 2 - пятница и так далее, до 6 - вторник.
Учитывая это, можно легко построить следующую таблицу, в которой для каждого возможного значения X указано, в каких месяцах будет пятница, 13-е число:
| 0 | Октябрь |
| 1 | Апрель, июль |
| 2 | Сентябрь, декабрь |
| 3 | Июнь, декабрь (= февраль следующего года) |
| 4 | Март, ноябрь |
| 5 | август |
| 6 | Май, декабрь (= январь следующего года) |
Например, 1 марта 2002 г. - пятница, поэтому X для 2002 г. - 2; в соответствии с этой таблицей 13 сентября 2002 г. и 13 декабря 2002 г. являются пятницей.
Високосные годы и их последствия для числа X
Если сравнить два нормальных года, можно увидеть, что дни сдвигаются на одну позицию: если 1 марта в этом году будет пятницей, то в следующем году будет суббота. Это происходит потому, что в году 365 дней, то есть 52 полных недели + 1 день. Таким образом, наше число X увеличивается на 1 каждый нормальный год, возвращаясь к 0, если оно достигнет 7.
Однако в високосном году дни сдвигаются на 2 позиции, а не на 1, потому что 366 дней - это 52 полных недели + 2 дня. Таким образом, число X високосного года на 2 больше, чем X за предыдущий год (и если эта сумма больше 6, следует вычесть 7, чтобы вернуть X в диапазон 0,6).
Когда у нас високосный год? В принципе, год является високосным, если он кратен 4. Однако в григорианском календаре, который используется в настоящее время, это не високосный год, если он кратен 100, если он также не кратен 400. Итак. 1996, 2000, 2004 годы - все високосные, как и 2096 и 2104, но 2100 - нет.
Один век
Давайте посмотрим на один век, скажем, на век, начинающийся с 2000 года. 1 марта 2000 года было средой, поэтому значение X для 2000 года оказывается равным 0, это просто. Обладая приведенной выше информацией о високосных годах, мы можем легко увидеть, что значение X для 2000–2099 годов выглядит следующим образом:
| 2000 г. 2027 г .: | 0,1,2,3, 5,6,0,1, 3,4,5,6, 1,2,3,4, 6,0,1,2, 4,5,6,0, 2, 3,4,5 |
| 2028. 2055: | 0,1,2,3, 5,6,0,1, 3,4,5,6, 1,2,3,4, 6,0,1,2, 4,5,6,0, 2, 3,4,5 |
| 2056. 2083: | 0,1,2,3, 5,6,0,1, 3,4,5,6, 1,2,3,4, 6,0,1,2, 4,5,6,0, 2, 3,4,5 |
| 2084. 2099: | 0,1,2,3, 5,6,0,1, 3,4,5,6, 1,2,3,4 |
Обратите внимание на повторение, которое происходит через 28 лет; это является следствием того факта, что 28 кратно как 7 (дней в неделе), так и 4 (интервал високосного года).
Путем простого подсчета вышеизложенного мы можем составить следующую таблицу:
| 0 | 14 |
| 1 | 15 |
| 2 | 14 |
| 3 | 15 |
| 4 | 14 |
| 5 | 14 |
| 6 | 14 |
Четыре века
Теперь посмотрим на век 2100. 2199. В принципе, мы могли бы снова записать всю последовательность, как мы делали выше, но теперь, начиная с 5 (потому что X для 2099 было 4, а 2100 не високосный год). Очевидно, мы получили бы ту же таблицу, за исключением того, что записи сдвинуты на 5 позиций вверх или на 2 места вниз.
То же самое происходит для 2200, 2299 и 2300, 2399, поэтому мы получаем следующую таблицу:
| 0 | 14 | 14 | 14 | 14 | 56 |
| 1 | 15 | 15 | 14 | 14 | 58 |
| 2 | 14 | 14 | 14 | 15 | 57 год |
| 3 | 15 | 14 | 14 | 14 | 57 год |
| 4 | 14 | 14 | 15 | 15 | 58 |
| 5 | 14 | 14 | 14 | 14 | 56 |
| 6 | 14 | 15 | 15 | 14 | 58 |
400-летний цикл
Спустя 400 лет картина будних дней в году повторяется. Итак, если 13 декабря 2002 года было пятницей, то будет 13 декабря 2402 года, 13 декабря 2802 года и так далее. (13 декабря 1602 г. также, за исключением случаев, когда вы живете в районе (например, в США), где в то время еще не использовался григорианский календарь).
Это можно увидеть, внимательно посчитав високосные годы в блоке из 400 лет следующим образом. Согласно упомянутому выше правилу, високосными могут быть только годы, которые делятся на 4: то есть 100 лет из 400. Однако 4 из них также делятся на 100, а один из этих 4 делится на 400. Следовательно, через 400 лет 100-4 + 1 = 97 високосных лет, в результате чего 400-97 = 303 нормальных года. Таким образом, за эти 400 лет X увеличится в сумме на 303 * 1 + 97 * 2 = 497. Однако каждый раз, когда X превышает 6, нам нужно вычесть 7, чтобы вернуть его в диапазон 0. 6. Поскольку 497 = 71 * 7, конечный результат таков, что X через 400 лет вернется туда, где он был начат.
Итак, нашего анализа за 2000 год. 2399 достаточно: все, что там происходит, повторяется вечно (если не будет введен новый календарь).