Калькулятор парадокса дня рождения

Содержание: [Показать]

Калькулятор парадокса дней рождений позволяет вам определить вероятность того, что по крайней мере два человека в группе разделяют день рождения, все, что вам нужно сделать, это указать размер группы. Представьте, что вы собираетесь на вечеринку с 23 друзьями. Какова вероятность того, что хотя бы двое из них родились в один и тот же день года? Предположим, что нет високосных дней или близнецов и что каждое свидание одинаково вероятно.

Анализ этой проблемы называется проблемой дня рождения, и он дает довольно неинтуитивные результаты.

Парадокс дня рождения

Проблема дня рождения связана с вероятностью того, что в группе случайно выбранных людей по крайней мере два человека разделят день рождения. Неясно, кто сформулировал это первым, некоторые подозревают Гарольда Давенпорта - английского математика, специализирующегося на теории чисел. Более ранняя версия парадокса была представлена ​​американским ученым и математиком Ричардом фон Мизесом. Математика, лежащая в основе проблемы дня рождения, применяется в криптографической атаке, называемой атакой дня рождения.

Возвращаясь к вопросу, заданному в начале, вероятность того, что хотя бы два человека из группы из 23 человек разделят день рождения, составляет около 50%. Более того, при 75 человек в комнате вероятность возрастает с вероятности 50/50 до вероятности 99,95%. Эти цифры могут показаться странными, учитывая, что существует 365 возможных свиданий и всего 75 человек.

Если вы не уверены, давайте рассмотрим логику задачи о дне рождения в следующих разделах этого калькулятора парадокса дня рождения.

Математика проблемы дня рождения

На любой вечеринке, организованной на Земле, по крайней мере, два человека в группе разделяют день рождения илиникто ни с кем не подходит. Таким образом, вероятность того, что произойдет первый или противоположный сценарий, равна 100%.

Так как это сделать намного проще, мы начнем с вычисления вероятности ситуации, в которой никто не разделяет день рождения- событие, дополняющее событие, описанное в задаче о дне рождения. Это проще, потому что для случая, когда по крайней мередва человека разделяют день рождения, нам нужно будет вычислить вероятность того, что два человека разделяют день рождения, три человека разделяют день рождения, два человека разделяют день рождения, а двое других разделяют другой день рождения, и скоро. Мы должны были бы принять во внимание все эти ситуации, начиная с одной пары людей, имеющих один день рождения, и заканчивая тем, что у всех одна и та же дата.

После того, как мы вычислили вероятность того, что день рождения не совпадет, мы вычитаем ее из 100% и проверяем, действительно ли это шанс 50/50. Давайте приступим к делу.

Как получить шанс 50/50

Определите вероятность того, что у 2 человек разные дни рождения:

Допустим, человек А родился 20 января. Это оставляет 364 других дня из 365 дней в году для человека Б.

Если вы не знаете, как это работает, подумайте о более простом событии, например о бросании кости. Вероятность получения 5 равна 1/6, потому что существует шесть возможных вариантов, один из которых равен 5, а вероятность получения числа, отличного от 5, равна 5/6.

Подсчитайте количество возможных парв группе:

пары = человек * (человек - 1) / 2

  • пары - количество всех возможных пар, которые могут быть образованы в группе
  • people - количество человек в группе

В нашем примере это будет:

пары = 23 * 22/2

Здесь мы подсчитали количество комбинаций. Помните, это отличается от перестановок.

Повысьте вероятность того, что у двух человек не совпадают дни рождения до 253 степени(используйте калькулятор экспоненты), поскольку ситуация, когда у двух людей разные дни рождения, должна повторяться 253 раза (у каждого человека день рождения должен быть другой, чем у остальных):

Р (В) = (364/365) ^ 253

Мы рассчитали вероятность того, что никто не разделит день рождения - P (B). Теперь помните, что мы хотели определить вероятность того, что по крайней мере два человека будут праздновать в один и тот же день - P (B '). Поскольку это дополнительные события, сумма их вероятностей равна 1, поэтому вычтите P (B) из 1:

Мы используем штрих B 'для обозначения события, дополнительного к событию B.

Мы пришли к результату- вероятность того, что по крайней мере два человека в группе из 23 случайных людей родились в один и тот же день года, составляет примерно 50/50.

Кто-нибудь разделит день рождения на вашей вечеринке?

Допустим, вы пригласили пять человек. Попробуйте вычислить вероятность для группы такого размера.

Вероятность того, что у двух людей разные дни рождения:

Количество пар:

пары = человек * (человек - 1) / 2

пары = 5 * 4/2 = 10

Вероятность того, что ни у кого нет дня рождения:

Вероятность того, что хотя бы два человека разделят день рождения:

Результатсоставляет 2,71%, что довольно мало шансов встретить кого-то, кто отмечает свой день рождения в тот же день.

Второй способ расчета шансов родиться в один день

Представьте, что вы один в комнате (никаких ужасов, только математика). Вероятность того,что выразделите день рождения ни с кем из присутствующих, составляет 365/365.

Входит ваш друг Бальтазар. Вы уже взяли один день, поэтому, чтобы иметь уникальный день рождения, у него есть 364 варианта на выбор из 365 возможных дней. Вероятность того, что он не разделит с вами день рождения, - 364/365.

Cosmoприсоединяется. Вы с Бальтазаром уже выбрали два свидания, поэтому у него есть 363 варианта - вероятность того, что он не разделит день рождения, составляет 363/365.

Дельфина- 4 человек - будет иметь вероятность 362/365,а Эмма- 5 человек - 361/365. Эти значения образуют арифметическую последовательность. Его последний элемент можно рассчитать так:

последний элемент = (365 - (человек - 1)) / 365

последний элемент = (365-4) / 365

последний элемент = 361/365

Теперь нам нужно умножить вероятности для каждого человека:

Р (В) = 365/365 * 364/365 * 363/365 * 362/365 * 361/365

365/365 равно 1, поэтому его можно не указывать. Он представлен вам, чтобы увидеть, что им назначено пять человек и пять вероятностей. Результат:

Как и выше, теперь мы должны вычислить дополнительное событие:

Калькулятор парадокса дня рождения

Вам не нужно делать математику самостоятельно, вы можете просто ввести количество людей в калькулятор парадокса дней рождений и вуаля! - у вас есть результат.

Значения округлены, поэтому, если вы введете 86 или большее количество людей, вы увидите 100% шанс, хотя на самом деле он немного ( оченьнемного) меньше. Если не учитывать високосные годы, то стопроцентная уверенностьдостигается, когда в группе будет 366 человек. Если вы хотите рассчитать вероятность с учетом високосных лет, включите расширенный режими выберите опцию «с високосными годами» в поле «дней в году». Тогда количество дней будет равняться 365,25 (есть один дополнительный день каждые четыре года, так что это в среднем 1/4 дня в году). В этом случае вам понадобится 367 человек, чтобы быть на 100% уверенным, что никто не разделяет день рождения.

Проблема дня рождения - парадокс?

Парадокс - это утверждение, в котором, несмотря на использование истинных предпосылок и обоснованных рассуждений, вывод является нелогичным или противоречивым.

Один из самых известных парадоксов - парадокс лжеца. Представьте себе сценарий: Джон говорит вам: «Я лгу» или «этот приговор - ложь». Теперь это утверждение должно быть либо истинным, либо ложным. Если это правда, то он лжет, но это не так, потому что это правда. Если утверждение ложное, это означает, что он не лжет, но тогда это будет означать, что он лжет. В любом случае мы приходим к противоречию.

Найдите минутку, чтобы осознать это.

Возвращаясь к проблеме дня рождения - это непарадокс. Логика, лежащая в основе этого, верна. Это называется парадоксом только потому, что это очень неинтуитивно, и большинство людей находит это странным. Иногда это называют правдоподобным парадоксом - результат, который кажется абсурдным, но подтверждается тем, что он правдив. Если задуматься, то название «правдоподобный парадокс» означает «истинный парадокс», что само по себе парадоксально.

Почему результаты кажутся странными?

В задаче о дне рождения, когда количество людей в группе увеличивается, шансы возрастают в геометрической прогрессии, а люди не очень хорошо понимают нелинейные функции. Чтобы лучше понять отношения, попробуйте нарисовать пять точек, соединив каждую из них линией, а затем посчитать линии. Затем нарисуйте еще одну группу из шести точек и сделайте то же самое. Вы видите разницу?

Вы можете подумать, что побывали на стольких вечеринках, и редко оказывается, что кто-то разделяет день рождения. Но сколько раз вы просили у всех на вечеринке день рождения? Может быть, в следующий раз, когда у вас будет случай, вы сможете определить вероятность с помощью калькулятора парадокса дня рождения и проверить, возникает ли такая ситуация.

Вы также можете попробовать это, просмотрев свою учетную запись Facebook и проверив даты дня рождения своих друзей - вы, вероятно, найдете немало людей, которые отмечают тот же день, что и кто-то другой.